로그정규분포 쉽게 이해하기: 곱셈 과정에서 산술평균이 아니라 기하평균을 봐야 하는 이유

핵심 메시지

• 100에서 시작해 앞면이면 10을 더하고 뒷면이면 10을 빼는 방식으로 300번을 던지면 종형 곡선이 나오지만, 더하기를 곱하기로 바꾸면 아무리 오래 돌려도 종형 곡선이 나오지 않는다.
• 중심극한정리는 유한한 평균과 분산을 가진 값들의 '합'에 대한 정리이며, 중심 이동과 루트 n 나누기까지 모두 덧셈 위에 세워져 있어 곱셈 과정에는 적용되지 않는다.
• 곱셈 과정은 0이라는 바닥을 넘지 못한다. 손실은 바닥에 눌리고 이익에는 천장이 없어서, 20,000번의 시행에서 중앙값은 출발점인 100에 그대로 있는데 평균은 400 가까이 끌려 올라간다.
• 로그를 취하면 곱이 합으로 바뀌어 중심극한정리가 다시 성립하고, 로그가 정규분포를 따르는 값이 바로 로그정규분포다. 이때 뮤와 시그마는 로그의 평균과 표준편차이지 원래 값의 평균과 표준편차가 아니다.
• 한 번의 인생을 사는 개인에게 의미 있는 값은 로그 평균을 되돌린 기하평균이며, 이는 로그정규분포의 중앙값과 정확히 같다.

쉽게 이해하기

출발점을 100으로 두고 공정한 동전을 던져 앞면이면 10을 더하고 뒷면이면 10을 빼기를 300번 반복한다. 이를 수천 명이 각각 수행한 뒤 최종 잔액의 히스토그램을 그리면 우리가 기대하는 그 모양, 100을 중심으로 대칭인 종형 곡선이 나온다. 이제 부호 하나만 바꿔 앞면이면 1.1을 곱하고 뒷면이면 1.1로 나누게 해 보자. 동전도 그대로고 던진 횟수도 그대로인데, 결과는 종형 곡선 근처에도 가지 않는다. 왼쪽으로 크게 쏠린 채 0이라는 벽에 눌려 쌓이고 오른쪽으로 가늘고 긴 꼬리를 끈다. 이 모양의 이름이 로그정규분포다.

원인은 곱셈이 덧셈보다 사납기 때문이 아니다. 우리가 종형 곡선을 기대할 때 꺼내 드는 정리가 애초에 '합'에 대한 정리이기 때문이다. 중심극한정리는 같은 분포에서 뽑은 독립적인 값들이 유한한 평균과 분산을 가질 때, 그 합에서 평균의 n배를 빼고 루트 n 곱하기 표준편차로 나누면 표준정규분포로 수렴한다고 말한다. 재료가 무엇이든 분산만 유한하면 합은 재료의 개성을 잊어버린다. 거의 모든 재료를 견뎌내는 결과이다 보니, 사람들은 이것을 거의 모든 상황을 견뎌내는 결과로 오해하기 쉽다. 하지만 그 문장 한가운데에 놓인 연산은 어디까지나 덧셈 기호다. 곱셈 쪽 히스토그램이 쏠리는 진짜 이유는 동전이 불공정해서가 아니라 바닥이 있기 때문이다. 1.1을 곱하는 것과 1.1로 나누는 것은 로그에서 정확히 대칭이라 이 과정에는 표류가 전혀 없고, 300번을 던진 뒤에도 중앙값 경로는 정확히 출발점인 100에 앉아 있다. 그런데 양수끼리의 곱은 아무리 항을 늘려도 양수로 남기 때문에, 연속된 손실은 0에 한없이 가까워질 뿐 결코 0을 건너지 못한다. 반대쪽에는 그런 제한이 없다. 20,000명의 시행에서 가장 운이 좋은 한 명은 100에서 출발해 200,000을 조금 넘겨 끝났고, 그 결과 평균은 400 가까이 끌려 올라간 반면 중앙값은 100에 머물렀다. 덧셈 쪽에서는 약 4분의 1이 0 아래에서 끝났는데, 곱셈 과정은 아예 갈 수 없는 자리다.

실마리는 아주 오래된 항등식에 있다. 곱의 로그는 로그의 합이므로, n단계 뒤의 총액에 로그를 취하면 왼쪽에는 총액의 로그라는 하나의 확률변수가 남고 오른쪽에는 같은 분포에서 뽑힌 독립적인 항 n개의 합이 남는다. 정확히 중심극한정리가 다루도록 만들어진 대상이다. 그러니 정리는 결국 적용되는데, 다만 우리가 겨누던 자리가 아니라 총액의 로그에 적용된다. 로그가 정규분포를 따르는 확률변수가 로그정규분포이고, 함께 따라오는 뮤와 시그마는 그 로그의 평균과 표준편차다. 이 분포에서 사람들이 저지르는 실수는 거의 전부 뮤를 원래 값의 평균으로 읽는 데서 시작한다. 지수함수는 증가함수라 순서를 보존하므로 중앙값은 보정항 없이 정확히 e의 뮤제곱이고, 볼록함수라 젠센 부등식에 따라 평균은 그보다 시그마 제곱의 절반만큼 위로 밀려 e의 뮤 더하기 시그마제곱 나누기 2 제곱이 된다. 최빈값은 더 아래에 놓이고, 세 값의 간격에는 뮤가 전혀 등장하지 않는다.

이 차이가 파산을 가르는 예가 있다. 전 재산을 공정한 동전에 걸고 앞면이면 50%를 벌어 1.5배, 뒷면이면 40%를 잃어 0.6배가 된다고 하자. 두 배수를 산술평균하면 1.05이므로 기대 잔액은 매 회 5%씩 오르고 100회 뒤에는 약 131배가 된다. 계산에 아무 오류가 없다. 그런데 로그를 평균 내면 1.5의 로그 약 0.41과 0.6의 로그 약 -0.51의 평균인 -0.05로 음수이고, 중앙값 잔액은 매 회 약 5%씩 줄어 100회 뒤에는 처음 판돈의 1%에도 못 미친다. 한 번 이기고 한 번 지면 1.5 곱하기 0.6은 0.9라서 동전은 비겼는데 돈은 10% 줄어 있다. 평균이 오르는 것은 극소수의 경로가 천문학적으로 불어나 기댓값을 혼자 떠받치기 때문이다.

던지는 횟수를 늘리면 쏠림이 완화될 것 같지만 실제로는 반대다. 평균 대 중앙값의 비는 e의 시그마제곱 나누기 2 제곱만 남아 분포의 위치는 모두 상쇄되고 오직 로그의 퍼짐인 시그마에만 의존하는데, n회를 돌리면 시그마가 루트 n으로 자라므로 이 비는 지수적으로 커진다. 25번에서는 평균이 중앙값의 약 1.1배, 100번에서는 1.5배, 300번에서는 거의 4배다. 수렴하는 것은 원래 값이 아니라 로그 쪽이며, 같은 20,000회 시행을 두 패널로 나란히 그리면 왼쪽 원값 패널은 점점 더 쏠리고 오른쪽 로그 패널은 점점 깔끔한 종 모양으로 정리된다. 그래서 인용해야 할 값은 로그 평균을 지수로 되돌린 기하평균이며, 이는 로그정규분포의 중앙값과 정확히 같다. 앞의 내기에서 1.5와 0.6의 기하평균은 0.9의 제곱근인 약 0.949로, 매 회 약 5%씩 잃는다는 중앙값의 이야기와 같은 답을 준다.

주요 인사이트

• 종형 곡선을 기대하게 만드는 것은 무작위성 자체가 아니라 덧셈이라는 연산이다. 과정이 곱셈으로 바뀌는 순간 중심극한정리의 기계장치는 붙잡을 곳을 잃는다.
• 곱셈 과정의 쏠림은 확률의 불공정에서 오는 것이 아니라 0이라는 넘을 수 없는 바닥에서 온다. 손실은 유계이고 이익은 무계라는 비대칭이 분포 전체의 모양을 결정한다.
• 로그정규분포의 뮤와 시그마를 원래 값의 평균과 표준편차로 읽는 순간 해석이 무너진다. 두 값은 어디까지나 로그의 평균과 표준편차다.
• 복리처럼 곱해지는 과정에서는 기댓값이 오르면서 동시에 전형적인 경로가 줄어드는 일이 모순 없이 함께 성립하고, 시행 횟수를 늘릴수록 두 값의 간격은 완화되기는커녕 지수적으로 벌어진다.
• 잔액이든 인구든 가격이든 복리로 움직이는 것이라면 우리가 정말 묻고 싶었던 질문은 대개 '한 번의 경로에서 나에게 무슨 일이 일어나는가'이고, 그 답은 산술평균이 아니라 기하평균이 준다.

자주 묻는 질문

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