유클리드 원론 다시 읽기: 자와 컴퍼스 작도가 그림이 아니라 증명의 일부였던 이유와 평행선 공준

핵심 메시지

• 고대 그리스 기하학에서 도형은 논증에 곁들인 삽화가 아니라 증명의 일부였고, 회의주의자가 반박해야 할 대상이었다.
• 유클리드는 원의 교차 여부 같은 비정확한 위상적 성질만 그림에 맡겼고, 길이가 같다는 식의 정확한 성질은 반드시 논증으로 확립했다.
• 명제 2에서 유클리드는 컴퍼스가 종이에서 떨어지면 벌어짐이 무너지는 것처럼 다뤄, 길이 옮기기조차 공준으로부터 작도 가능함을 증명해 두었다.
• 정사각형은 평행선 공준 없이는 존재하지 않는다. 원론의 누적 구조는 단순해 보이는 도형이 실제로 어떤 가정을 필요로 하는지 드러낸다.
• 2000년 넘게 여러 수학자가 평행선 공준을 정리로 증명하려다 실패했고, 그것을 별도의 공준으로 둔 유클리드의 판단이 결국 옳았다.

쉽게 이해하기

이 영상은 3Blue1Brown 채널에 올라온 다섯 편의 게스트 영상 중 마지막 편으로, 수학과 과학의 역사를 다루는 벤 시버슨이 만들었다. 주제는 인류사에서 가장 영향력 있는 수학책인 유클리드 원론이고, 핵심 질문은 자와 컴퍼스로 하는 작도가 대체 무엇을 위한 것이었는가다. 많은 사람은 이를 컴퓨터가 없던 시절 도형을 예쁘게 그리는 방법 정도로 여기지만, 그리스인들에게 도형은 증명 그 자체의 일부였다.

오늘날 수학은 모든 논리적 가정을 코드 한 줄처럼 명시하고, 그림에서 완전히 독립하기 전까지는 증명으로 인정하지 않는다. 그런데 원론의 첫 번째 명제인 정삼각형 작도에는 현대 수학자가 보기에 명시되지 않은 가정이 하나 있다. 두 원이 실제로 겹친다는 것을 증명하지 않은 것이다. 그러나 수학사 팟캐스트를 진행하는 빅토르 블로셰는 이를 증명의 빈틈이라 부르는 것 자체가 시대착오라고 본다.

그리스의 증명은 논쟁 전통에서 나왔고, 상대에게 이 단계를 직접 수행해 보라고 요구하는 것이었다. 자기 눈앞에서 방금 두 원을 그린 회의주의자가 원이 만나지 않는다고 우기려면, 그렇게 의심할 만한 근거를 스스로 제시해야 한다. 그렇다면 그림에서 무엇을 자명하다고 볼 수 있는가.

두 원이 만나는지는 그림이 정확하지 않아도 성립하는 비정확한 성질이다. 반면 삼각형의 세 변이 정확히 같다는 것은 그림만 보고 받아들일 수 없다. 유클리드는 이 구분을 철저히 지켜, 점이 도형의 안에 있는지 밖에 있는지 또는 직선 위 점들의 순서 같은 위상적 성질만 그림에 맡겼다.

명제 2는 이 관점을 결정적으로 뒷받침한다. 주어진 선분과 같은 길이의 선분을 다른 위치에 놓는 작업인데, 유클리드는 원 몇 개와 정삼각형을 동원한 대단히 복잡한 작도로 이를 해낸다. 컴퍼스를 집어 다른 곳에 찍으면 될 일을, 마치 컴퍼스가 종이에서 떨어지는 순간 접혀 버리는 것처럼 다룬 것이다. 매번 이렇게 하라는 뜻이 아니라, 길이 옮기기가 공준과 공통 관념만으로 정당하게 작도 가능함을 증명해 하나의 부품으로 등록해 두는 절차다.

주요 인사이트

• 그리스인들이 증명에 집착한 배경에는 철학이 있었다. 직관만 믿을 수 있다는 플라톤식 합리론과 관찰만이 앎이라는 아리스토텔레스식 경험론은 끝없는 논쟁으로 갈 수밖에 없었고, 수학자들은 작도를 통해 외부인도 검증하고 옳고 그름을 확실히 가릴 수 있는 틀을 만들어 그 논쟁에서 빠져나왔다. 원론의 처음 세 공준이 모두 자와 컴퍼스로 무엇을 할 수 있는지에 관한 것인 이유도 여기에 있다. 공준을 물리적 행위에 묶어 두면 그것이 누군가 지어낸 모순된 체계가 아님이 보장되기 때문이다.
• 그림에 숨은 가정 하나가 증명 전체를 무너뜨릴 수 있다. 영상은 수직 이등분선을 눈대중으로 조금 잘못 그리는 것만으로 모든 직각이 같지 않다는 거짓 명제가 증명되는 과정을 보여 준다. 원론의 작도 절차를 따르면 이런 오류를 피할 수 있다.
• 유클리드의 정사각형 작도는 놀랄 만큼 복잡하다. 두 변을 평행하게 잡아 평행사변형의 성질을 끌어와야 하고, 그러려면 평행선 공준이 필요하다. 평행선 공준이 거짓이면 같은 절차는 정사각형이 아니라 기묘하게 일그러진 사각형을 만든다.
• 평행선 공준의 진술이 유독 복잡한 이유도 작도와 연결된다. 두 직선이 영원히 만나지 않는다는 것은 물리적으로 확인할 방법이 없지만, 두 직선이 수렴하면 언젠가 만난다는 형태로 바꾸면 확인 가능한 주장이 된다. 이븐 알하이삼과 오마르 하이얌부터 1800년 무렵의 라그랑주와 르장드르까지 여러 대가가 이 공준을 정리로 증명하려다 눈에 띄지 않는 오류를 남겼고, 이는 그것을 별도의 공준으로 둔 유클리드의 판단이 옳았음을 역으로 보여 준다.
• 19세기에 평행선 공준이 거짓인 기하학도 유효하다는 사실이 밝혀지면서 작도는 수학의 철학적 기반 자리에서 내려왔다. 그 자리를 형식논리와 컴퓨터 증명 검증기가 이어받았는데, 작은 연산이 부품이 되어 더 큰 구조를 쌓는 방식은 원론과 같고 기본 단위만 선과 원에서 0과 1로 바뀌었다.

자주 묻는 질문