이미지의 로그를 취한다는 것 — 에셔 판화 전시장과 등각사상 (3Blue1Brown)

핵심 메시지

• 에셔의 1956년 석판화 ‘판화 전시장’은 그림이 자기 자신 속으로 끝없이 확대되는 자기유사(드로스테) 고리를 담고 있다.
• 2003년 수학자 드 스미트와 렌스트라는 이 작품을 이미지에 ‘로그를 취하는’ 과정으로 분석하고 역설계했다.
• 핵심 수학은 등각사상으로, 복소함수는 아주 작은 정사각형을 정사각형으로 보존하는 특별한 성질을 가진다.
• 복소 지수함수는 직선을 원으로 바꾸고 자연로그는 원을 직선으로 풀며, 이 둘과 상수 곱(회전·확대)을 결합해 에셔 효과를 재현한다.

쉽게 이해하기

이야기는 수학 교실이 아니라 미술관에서 시작한다. 에셔의 ‘판화 전시장’은 배 그림을 보던 시선이 마을과 건물, 복도를 거쳐 다시 그림을 보는 자기 자신으로 되돌아오는, 어지러울 만큼 자기완결적인 고리다. 이는 그림이 자기 안에 들어 있는 자기유사 이미지, 이른바 드로스테 효과이며 에셔의 경우 복사본이 원본보다 256배 작아질 만큼 깊다. 그림 한가운데의 빈 곳에 무엇이 들어가야 하는지가 핵심 질문인데, 영상은 재미 삼아 확산(디퓨전) 모델에 그 빈칸을 채우게 했지만 제대로 이해하지 못했다고 전한다.

영상은 먼저 에셔의 작업 과정을 직관적으로 설명한다. 펼쳐 놓은 자기유사 이미지에서 출발해, 확대 비율을 정사각형의 네 모서리에 나눠 담는 ‘뒤틀린 격자’를 만들고, 원본의 작은 정사각형 내용을 격자의 대응하는 칸으로 하나씩 옮겨 그리는 메시 워프 기법이다. 이때 결정적 단서는 뒤틀린 격자에서도 작은 정사각형이 여전히 정사각형으로 남는다는 점인데, 이는 복소해석에 익숙한 사람에게는 곧바로 ‘등각사상’을 떠올리게 한다.

이어 복소수의 기초가 복습된다. 어떤 복소상수를 곱하는 것은 회전과 확대의 조합이며 모양을 보존한다. 더 복잡한 z의 제곱 같은 함수도 충분히 작은 스케일에서는 정사각형을 정사각형으로 남기는데, 이를 등각이라 부른다. 거의 모든 복소함수가 이 성질을 갖는 반면, 단순히 두 실수의 쌍으로 보는 2차원 함수는 작은 영역을 평행사변형처럼 찌그러뜨리기 일쑤다. 복소함수가 특별한 이유다.

재현의 두 재료는 지수함수와 자연로그다. 복소 지수함수 e^z는 높이 2π의 수직 선분을 하나의 원으로 바꾸고, 자연로그는 거꾸로 원을 직선으로 풀어 준다. 자기유사 드로스테 이미지에 로그를 취하면 가로·세로 양방향으로 반복되는 이중 주기 타일링 패턴이 나온다(로그가 곱셈을 덧셈으로 바꾸기 때문이다). 여기에 적절한 복소상수를 곱해 회전·확대한 뒤 다시 지수함수로 되돌리면 에셔식 자기완결 고리가 완성되며, 이 전체 합성은 결국 입력을 어떤 복소수 지수로 거듭제곱하는 것으로 요약된다.

끝으로 영상은 더 깊은 구조를 짚는다. 이 풀이가 의존한 이중 주기 함수에는 ‘타원함수’라는 이름이 있고, 작품을 분석한 드 스미트와 렌스트라가 정수론자라는 점과도 맞닿아 있다. 예술가와 수학자가 전혀 다른 이유로 같은 구조에 끌릴 수 있다는 사실은, 그 끌림의 대상 안에 보편적인 무언가가 있음을 시사한다고 영상은 마무리한다.

주요 인사이트

• 복소함수는 국소적으로 작은 정사각형을 정사각형으로 보존하는 ‘등각’ 성질을 가져, 에셔가 원했던 격자 조건과 정확히 맞아떨어진다.
• ‘이미지의 로그를 취한다’는 말은, 확대가 회전처럼 보이게 만드는 좌표 변환을 뜻한다(곱셈을 덧셈으로 바꾸는 로그의 성질).
• 같은 효과는 로그→상수 곱→지수의 합성이며, 결국 입력을 어떤 복소수 지수로 거듭제곱하는 것으로 요약된다.
• 영상은 확산 모델에 중앙의 빈 곳을 채우게 했을 때 제대로 이해하지 못했다고 언급하며, 이 문제의 본질적 모호함을 보여 준다.

자주 묻는 질문