고윳값·고유벡터 쉽게 이해하기: 날씨 전이행렬로 배우는 이산 동역학계와 정상상태 수렴

핵심 메시지

• 맑음과 비 두 상태만 있는 날씨 모형을 전이행렬로 표현하면, 며칠 뒤의 확률은 그 행렬을 거듭 곱하는 것으로 계산된다.
• 출발점이 맑음이든 비든 상관없이 확률은 결국 맑음 0.6, 비 0.4라는 같은 균형점으로 수렴한다.
• 이 균형점이 바로 고윳값 1에 대응하는 고유벡터이고, 나머지 고윳값 0.5는 매일 균형선까지 거리가 절반씩 줄어든다는 뜻이다.
• 행렬을 숫자 배열이 아니라 평면을 변형하는 사상으로 보면, 거듭제곱의 효과를 한눈에 파악할 수 있다.
• 상태를 셋으로 늘린 예에서도 원리는 같아서, 정상상태는 6/9·2/9·1/9로 수렴한다.

쉽게 이해하기

루이스 세라노가 이산 동역학계를 소재로 행렬과 선형변환, 고윳값과 고유벡터를 처음부터 설명한다. 예시는 아주 단순하다. 하루는 맑거나 비가 오고, 오늘 맑으면 내일도 맑을 확률이 0.8, 비로 바뀔 확률이 0.2다. 오늘 비가 오면 내일도 비일 확률이 0.7, 맑아질 확률이 0.3이다. 이 네 숫자를 모은 것이 전이행렬이며, 각 열의 합은 항상 1이 된다.

오늘이 맑다는 사실만 알고 있을 때 내일, 모레, 그 다음 날의 확률은 전이행렬을 계속 곱해 얻는다. 하루가 지날수록 첫날의 정보가 미치는 영향은 옅어지고, 확률은 맑음 0.6과 비 0.4에 가까워진다. 흥미로운 점은 오늘이 비였다고 가정해도 결과가 같다는 것이다. 어디서 출발하든 충분히 시간이 지나면 같은 값에 도달하며, 이것이 이 계의 균형 상태다.

세라노는 이 과정을 좌표평면 위에 그려 보인다. 가로축을 맑음, 세로축을 비로 두고 점을 찍으면 매일의 확률은 균형점 쪽으로 한 칸씩 다가가는 점들의 행렬로 나타난다. 균형점만 있는 것이 아니라 원점을 지나는 균형선이 있고, 그 선 밖의 점들도 결국 선 위로 끌려 들어온다. 다만 수직이 아니라 45도 방향으로 접근하는데, 그 방향이 두 번째 고유벡터가 가리키는 방향이다.

왜 하필 절반씩 가까워지는지에 대한 답이 고윳값이다. 이 행렬의 고윳값은 1과 0.5이고, 고유벡터는 균형점에 해당하는 방향과 45도 방향이다. 고윳값 1인 고유벡터는 행렬을 곱해도 그대로 남아 정상상태가 되고, 고윳값 0.5는 그 방향의 성분이 매번 절반으로 줄어든다는 의미다. 그래서 행렬을 수백, 수천 번 곱한 결과를 일일이 계산하지 않고도 무슨 일이 벌어질지 말할 수 있다.

마지막으로 맑음·흐림·비 세 상태 모형을 다룬다. 열의 합이 1인 이런 행렬은 마르코프 행렬이라 불리며, 반복해 곱하면 6/9, 2/9, 1/9에 해당하는 값으로 안정된다. 고윳값 가운데 하나는 여기서도 1이고 나머지는 1보다 작아, 각각의 고유벡터 방향으로 얼마나 빨리 균형선에 수렴하는지를 알려 준다.

주요 인사이트

• 고윳값 1이 존재한다는 사실이 곧 정상상태가 있다는 뜻이고, 나머지 고윳값의 크기가 수렴 속도를 결정한다는 대응이 이 강의의 핵심이다.
• 행렬 거듭제곱을 직접 계산하는 대신 좋은 기저를 골라 문제를 단순화한다는 발상은 주성분분석이나 그래프 알고리즘에도 그대로 이어진다.
• 확률 벡터가 어디서 출발하든 같은 값에 수렴한다는 성질은 마르코프 연쇄를 쓰는 추천·랭킹 알고리즘의 근거이기도 하다.
• 행렬을 숫자표가 아니라 격자를 변형하는 사상으로 보는 관점은, 고유벡터가 '방향이 보존되는 축'이라는 정의를 직관으로 바꿔 준다.

자주 묻는 질문

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