켈리 기준 쉽게 이해하기: 최적 베팅 비율 공식과 그 공식이 현실에서 무너지는 이유

핵심 메시지

• 켈리 기준은 최종 자산의 평균이 아니라 '한 번의 베팅당 평균 성장률'을 기준으로 전략을 평가한다.
• 최적 전략은 매번 고정 금액이 아니라 현재 자산의 고정 비율을 거는 것이며, 그 비율은 확률과 배당률만으로 정해진다.
• 영상이 소개한 연구에서 참가자 28%가 전 재산을 잃었지만, 최적 전략을 따랐다면 94%가 자산을 열 배로 불릴 수 있었다.
• 사람들이 실패하는 이유는 같은 결과가 연달아 나오면 다음 판에 크게 거는 식으로 직관이 어긋나기 때문이다.
• 진짜 확률 대신 추정 확률을 공식에 넣는 순간 평균 성장률이 크게 떨어져, 공식만으로는 현실의 위험 관리를 대신할 수 없다.

쉽게 이해하기

영상은 간단한 게임으로 시작한다. 5만 원 남짓한 돈을 들고 앞면이 70%, 뒷면이 30%로 나오는 치우친 동전을 계속 던진다. 앞면에 4 대 6의 배당이 붙어 있어 6달러를 걸면 앞면일 때 4달러를 벌고 뒷면일 때 6달러를 잃는다. 한 번만 놓고 보면 기댓값이 양수라 참가할 이유는 충분하다. 문제는 100번을 던질 때 매번 얼마를 걸 것인가다.

전략을 비교하려면 수많은 경로를 하나의 숫자로 요약해야 한다. 최종 자산의 평균이나 위험 조정 수익, 경제학에서 쓰는 효용 함수의 평균 등 여러 선택지가 있지만, 켈리 기준은 다른 잣대를 쓴다. 각 최종 자산에 대해 '매 회 같은 비율로 늘었다면 몇 퍼센트인가'를 계산해 성장률로 바꾸고, 그 성장률의 평균이 가장 높은 전략을 고른다.

매번 5달러씩 거는 단순한 전략의 평균 성장률은 0.5% 남짓이다. 여기서 벨연구소의 존 켈리가 내놓은 답은 두 가지다. 첫째, 모든 전략 가운데 최선은 현재 자산의 고정 비율을 거는 형태다. 둘째, 그 비율은 앞면이 나올 확률과 배당률만으로 계산되는 공식으로 주어진다. 이 전략의 평균 성장률은 2.25%에 육박해 100번 뒤 자산이 450달러 수준까지 올라간다.

영상은 사람들이 이 게임을 실제로 얼마나 못하는지도 보여 준다. 비슷한 게임을 시킨 연구에서 참가자 28%가 파산했는데, 켈리 기준을 따랐다면 사실상 일어나지 않았을 일이다. 모두가 최적 전략을 썼다면 94%가 열 배를 벌었겠지만 실제로는 21%만 그 선에 닿았다. 뒷면이 세 번 연속 나오면 다음에 크게 거는 식의 직관은 파산 경로를 눈에 띄게 늘린다.

마지막이 이 영상의 진짜 요점이다. 현실에서는 진짜 확률을 알 수 없다. 처음 열 번은 관찰만 하고 그 자료로 확률을 추정한 뒤 공식에 넣는, 지극히 상식적인 방식을 시뮬레이션하면 평균 성장률이 0.75% 수준으로 떨어진다. 정확한 확률을 알았을 때의 4분의 1도 되지 않는다. 추정의 불확실성은 베팅을 줄일 이유가 되지만 얼마나 줄여야 하는지에 대한 짧은 답은 없다는 것이 화자의 결론이다.

주요 인사이트

• 평가 기준을 무엇으로 잡느냐가 최적 전략을 바꾼다. 최종 자산의 평균을 극대화하는 문제와 성장률의 평균을 극대화하는 문제는 서로 다른 답을 낸다.
• 고정 비율 베팅의 장점은 로그 척도에서 드러난다. 자산을 로그로 그리면 켈리 전략의 궤적이 고정 금액 전략의 궤적과 닮은 모양이 되는데, 화자는 이를 로그 공간을 고르게 이동하는 성질로 해석했다.
• 파산은 확률을 잘못 안 결과라기보다 베팅 크기를 잘못 정한 결과다. 기댓값이 양수인 게임에서도 크기 조절에 실패하면 참가자의 상당수가 전 재산을 잃는다.
• 공식이 요구하는 입력값이 관측 불가능하다면, 공식의 정확도보다 입력값의 불확실성이 성과를 지배한다. 켈리 공식은 그 사실을 가장 깔끔하게 보여 주는 사례다.
• 화자는 위험 관리에 짧은 정답이 없다고 잘라 말한다. 최적화 공식을 아는 것과 그 공식을 현실에 안전하게 쓰는 것은 별개의 문제다.

자주 묻는 질문

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