스탠퍼드 AA203 강의 정리: 도달가능집합과 모델예측제어(MPC)의 기초와 튜닝 원리

핵심 메시지

• 후방 도달가능집합은 제어자와 외란이라는 두 참가자의 미분 게임으로 정식화되며, 해밀턴-야코비-아이작스 방정식으로 계산된다.
• 집합에 속하는지 여부라는 이진 조건은 h(x)의 0 이하 준위집합으로 바꿔 표현되고, 이때 진행 비용을 없애고 종단 비용만 남기면 기존 최적제어 틀에 그대로 들어간다.
• 끝점만 안전한 궤적이 중간에 위험 구역을 지나는 문제를 막으려면, 비용을 구간 전체에 대한 h의 최솟값으로 바꾼 도달가능 튜브 정식화가 필요하다.
• 모델예측제어는 매 주기마다 유한 구간 개루프 문제를 풀어 첫 입력만 적용하고 나머지를 버린 뒤 새 상태에서 다시 푸는 방식으로 폐루프 성질을 얻는다.
• 모델예측제어의 튜닝 손잡이는 예측 구간 길이, 종단 비용, 종단 제약집합 세 가지이며, 지속 가능 실현성과 안정성이 이들을 고르는 기준이 된다.

쉽게 이해하기

강의는 앞 시간에 이어 도달가능성 이야기를 마무리한 뒤 모델예측제어로 넘어간다. 후방 도달가능집합은 목표 집합을 어떻게 해석하느냐에 따라 두 가지로 갈린다. 회피 집합은 어떤 외란이 주어지면 우리가 어떤 제어를 쓰더라도 결국 위험 영역에 들어가게 되는 상태들의 모임이라 바깥에서 출발해야 하고, 도달 집합은 어떤 외란이 오더라도 목표에 도달시키는 제어가 존재하는 상태들의 모임이라 그 안에서 출발해야 한다. 어느 쪽이든 궤적 최적화의 제약 조건으로 자연스럽게 붙는다.

이 집합들을 실제로 계산하는 방법이 강의의 첫 절반이다. 우리는 제어를 쓰는 참가자이고 자연은 외란으로 방해하는 참가자이므로 문제는 미분 게임이 되고, 해밀턴-야코비-아이작스 방정식으로 다룰 수 있다. 문제는 집합에 속하는지 여부가 참과 거짓의 이진 조건이라는 점인데, 목표 집합을 0 이하 준위집합으로 갖는 함수 h를 잡으면 해결된다. 반지름 r인 원이 목표라면 원점에서의 거리에서 r을 뺀 값이 그런 함수가 되고, 부호가 안팎을 말해 줄 뿐 아니라 크기가 위험선까지 얼마나 여유가 있는지를 알려 준다. 진행 비용을 0으로 두고 종단 비용만 h로 두면 앞서 배운 정식화를 그대로 쓸 수 있다.

강연자는 유니사이클 동역학을 가진 두 항공기의 충돌 회피를 예로 든다. 상대 위치와 상대 헤딩을 상태로 두고 자신의 연구실에서 만든 파이썬 패키지로 해밀턴-야코비 계산을 돌리면, 0 준위집합이 한쪽으로 기운 독특한 모양으로 나온다. 상대 헤딩이 0이면 두 항공기가 같은 방향으로 나아가므로 집합은 원 모양 그대로지만, 헤딩이 파이에 가까워 정면으로 마주 보는 상황에서는 더 큰 횡방향 여유가 필요해 모양이 한쪽으로 부푼다. 시간 지평을 늘려 가면 3.5 단위 시간쯤에서 집합이 더 이상 변하지 않고 정상 상태로 수렴하는 것도 확인된다. 다만 이런 solver는 상태 차원이 다섯이나 여섯을 넘어가면 차원의 저주로 무너지고, 그 이상은 신경망이나 샘플링 기반 근사로 정확도 보장 일부를 포기해야 한다는 한계도 함께 언급된다.

후반부는 모델예측제어다. 개루프 최적제어는 빠르지만 제어 시퀀스로만 사고해 힘이 약하고, 폐루프 최적제어는 강력하지만 계산이 무겁다. 모델예측제어는 그 사이를 노린다. 현재 상태를 측정해 유한 구간 개루프 문제를 풀고, 계산한 시퀀스 중 첫 입력만 적용한 뒤 나머지는 버리고, 한 스텝 이동한 새 상태에서 다시 처음부터 푼다. 매번 개루프 문제를 풀지만 최신 관측으로 계속 다시 계획하기 때문에 전체 틀이 폐루프 성질을 갖는다. 강연자는 이것이 사람이 걸으면서 계획을 수정하는 방식과 다르지 않아 직관적이라고 말한다.

역사와 튜닝 이야기가 이어진다. 모델예측제어는 1970~80년대 화학공학에서 휴리스틱으로 출발했는데, 온도 같은 제약을 직접 다뤄야 했고 공정이 느려 몇 초에 한 번 최적화를 푸는 것으로 충분했기 때문이다. 이론은 90년대와 2000년대에 정비됐고, 최근에는 온라인 solver가 빨라지면서 10Hz, 30Hz, 나아가 kHz 수준의 재계획까지 제어 루프 안으로 들어왔다. 설계자가 조정할 수 있는 것은 예측 구간 길이, 종단 비용, 종단 제약집합 세 가지이며, 목표는 매 순간 문제가 여전히 풀리는 지속 가능 실현성과 원점으로 수렴하는 안정성이다. 강의는 불변 집합 이론에서 한 스텝 제어가능집합과 제어 불변집합 같은 도구를 가져와, 구간을 하나 줄인 실현성 집합이 제어 불변이면 지속 가능 실현성이 보장된다는 보조정리를 소개하고 다음 시간에 증명하기로 하며 끝난다.

주요 인사이트

• h 함수의 부호가 안전 여부를, 크기가 위험까지의 여유를 동시에 알려 준다는 점이 이 정식화의 숨은 이점이다. 안전 판정과 완충 거리 측정을 하나의 값으로 처리할 수 있다.
• 끝점만 검사하는 도달가능집합은 중간에 위험 구역을 스쳐 지나간 궤적을 성공으로 판정한다. 항공기 근접처럼 실제로는 실패인 상황을 잡으려면 비용을 구간 전체에 대한 최솟값으로 바꾼 튜브 정식화가 필요하다.
• 도달가능집합이 비어 있다는 결과도 정보다. 문제 정식화가 지나치게 보수적이거나 구동기 성능이 부족하다는 신호이므로, 로봇을 배치하지 않거나 하드웨어를 다시 설계할 근거가 된다.
• 모델예측제어가 계산한 궤적의 대부분을 버리는 것은 낭비처럼 보이지만, 그 대가로 최신 관측을 반영한다는 점이 핵심이다. 다음 주기의 초기 해로 재활용하는 변형도 있어 실제 손실은 더 작다.
• 예측 구간을 길게 잡으면 판단이 정보에 근거하게 되지만 계산 비용이 커지고, 짧게 잡으면 근시안적이 되어 과제를 달성하지 못할 수 있다. 결국 계산 예산과 성능 사이의 균형 문제로 귀결된다.

자주 묻는 질문

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