번사이드 보조정리로 세는 미완성 정육면체 122가지: 솔 르윗의 노트와 대칭 계산법

핵심 메시지

• 모서리 12개를 켜고 끄는 선택이므로 가능한 미완성 정육면체는 2의 12제곱, 즉 4,096가지이고 정육면체를 돌리는 방법은 24가지다.
• 한 도형이 속한 가족의 크기와 그 가족의 '닮은꼴' 개수를 곱하면 항상 24가 된다. 대칭이 많은 도형일수록 가족이 작다.
• 결정적 전환은 세는 방향을 뒤집은 것이다. 도형마다 변환을 세는 대신 변환마다 그대로인 도형을 세면 공식으로 계산할 수 있다.
• 회전 동일만 따지면 218가지, 여기에 연결성과 3차원 조건을 되살리면 르윗이 찾아낸 122가지가 된다.
• 르윗은 거울상이 회전으로 겹치지 않을 수 있다는 사실을 뒤늦게 깨닫고 목록을 크게 늘렸고, 완성된 조각에는 중복 하나와 누락 하나가 남았다.

쉽게 이해하기

미술관 탁자 위에 작고 흰 뼈대들이 격자로 놓여 있습니다. 개념미술가 솔 르윗의 '미완성 열린 정육면체의 변주'로, 정육면체가 불완전해질 수 있는 모든 경우를 늘어놓은 작품입니다. 조건은 남은 모서리가 서로 이어져 있을 것, 가로와 세로와 높이 방향에 최소 하나씩 모서리가 있어 제대로 입체일 것, 돌려서 같아지는 모양은 하나만 남길 것 세 가지입니다. 그렇게 걸러진 결과가 122개입니다.

이 작품이 특별한 이유는 예술가의 풀이 과정이 남아 있다는 점입니다. 노트 50여 장에는 스케치가 빼곡하고 업무용 편지 뒷면까지 정육면체 낙서로 덮여 있는데, 가장 어려웠던 조건은 회전 동일 판정이었습니다. 르윗은 종이클립과 파이프클리너로 모형을 만들어 직접 돌려 보다 중복을 찾으면 빨간 표시로 지웠고, '숫자와 문자로 논리적으로 풀어 보려 했지만 결국 전부 경험적으로 할 수밖에 없었다'고 말했습니다. 다만 꼭짓점에 문자를 붙이던 표기를 모서리 번호로 바꾼 뒤에는, 빠진 번호만 읽어 여집합을 만들고 모서리 수가 항상 12로 합해진다는 성질을 이용해 탐색을 절반으로 줄였습니다.

수학 쪽 풀이는 먼저 도구를 만듭니다. 모서리 12개를 켜고 끄는 선택이므로 전체 경우의 수는 2의 12제곱인 4,096가지이고, 정육면체를 돌리는 방법은 면축 9가지와 꼭짓점축 8가지, 모서리축 6가지에 아무것도 하지 않는 경우를 더해 정확히 24가지입니다. 어떤 도형에 이 24가지 변환을 모두 적용해 늘어놓은 것을 영상은 '가족 사진'이라 부르고, 변환을 거쳐도 겉모습이 그대로인 경우를 '닮은꼴'이라 부릅니다. 대칭이 많은 도형일수록 사진 안에 같은 모습이 여러 번 반복되며, 가족 크기와 닮은꼴 수의 곱은 언제나 24가 됩니다.

여기서 한 번 실망이 옵니다. 닮은꼴 총합을 24로 나누면 가족 수가 나온다는 공식을 얻지만, 닮은꼴을 세는 일도 결국 4,096개를 일일이 확인하는 일이라 실용적이지 않기 때문입니다. 깨달음은 이 표를 세로가 아니라 가로로 읽는 순간 찾아옵니다. 도형마다 몇 개의 변환이 그것을 그대로 두는지 세는 대신 변환마다 몇 개의 도형이 그대로 남는지를 세면, 세로축 90도 회전은 8개, 면축 180도는 64개, 꼭짓점축은 16개, 모서리축은 128개, 항등변환은 4,096개처럼 곧장 계산됩니다. 모두 더한 5,232를 24로 나누면 218이 나오고, 이것이 군론에서 말하는 번사이드 보조정리입니다.

르윗에게도 결정적 순간이 있었던 것으로 보입니다. 어떤 도형은 거울에 비친 모습이 아무리 돌려도 원래 모양과 겹치지 않는다는 사실을 깨달은 뒤 그의 목록은 거의 하룻밤 사이에 크게 늘어납니다. 2014년 캔자스 주립대의 논문은 전수 탐색으로 122라는 답이 옳음을 확인했지만, 완성된 조각에는 104번과 105번이 사실 같은 도형인 중복이 있고 대신 있어야 할 도형 하나가 빠져 있습니다. 영상은 이 작은 결함을 흠이 아니라 오히려 어울리는 마무리로 받아들입니다.

주요 인사이트

• 좋은 표기법은 자료를 정리하는 도구가 아니라 생각을 바꾸는 도구다. 르윗이 꼭짓점 문자에서 모서리 번호로 바꾼 직후부터 노트에 여집합 쌍이 등장하기 시작한다.
• 실망은 과정의 일부다. '닮은꼴로 가족 수를 구할 수 있다'는 중간 결과는 그 자체로는 쓸모없어 보였지만, 결국 최종 해법의 절반이었다.
• 번사이드 보조정리는 특수한 묘기가 아니라 대칭이 있는 대상을 칠하거나 채울 때 경우의 수를 세는 범용 기법이다. 루빅스 큐브의 서로 다른 상태를 세는 데에도 같은 논리가 쓰인다.
• 답이 맞다는 것과 결과물이 정확하다는 것은 다른 문제다. 122라는 숫자는 옳았지만 실제 조각에는 중복과 누락이 남아 있었다.

자주 묻는 질문

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