외적(크로스 프로덕트) 뜻과 계산법 정리: 평행사변형 넓이, 행렬식, 오른손 법칙까지 한 번에

핵심 메시지

• 2차원에서 두 벡터의 외적은 그 둘이 만드는 평행사변형의 넓이이며, 어느 쪽이 오른쪽에 있느냐에 따라 부호가 붙는다.
• 외적 값은 두 벡터를 열로 세운 행렬의 행렬식과 같다. 행렬식이 넓이 변화 배율을 재기 때문이다.
• 두 벡터가 수직에 가까울수록 외적은 커지고, 한 벡터를 3배로 늘리면 외적도 정확히 3배가 된다.
• 진짜 3차원 외적의 결과는 숫자가 아니라 벡터다. 길이는 평행사변형의 넓이, 방향은 그 평면에 수직이며 오른손 법칙으로 정한다.
• 3차원 외적 계산에 기저벡터를 행렬 첫 열에 써넣는 방식은 단순한 표기 요령처럼 보이지만, 쌍대성이라는 배경이 따로 있다.

쉽게 이해하기

선형대수학의 본질 시리즈는 앞선 회차에서 내적을 다루면서, 교과서식 정의와 선형변환 관점의 해석을 함께 보여줬다. 이번 10장은 같은 방식으로 외적을 다루되 두 편으로 나눠, 먼저 학생들이 보통 배우는 핵심 내용부터 짚는다. 뒤에 이어질 편에서는 잘 가르치지 않지만 알고 나면 훨씬 개운해지는 관점을 다룬다고 예고한다.

출발점은 2차원이다. 벡터 V와 W가 있을 때 V의 꼬리를 W의 머리에, W의 꼬리를 V의 머리에 옮겨 붙이면 평행사변형 하나가 만들어진다. 2차원 외적은 이 평행사변형의 넓이인데, 여기에 방향이 더해진다. V가 W의 오른쪽에 있으면 양수, 왼쪽에 있으면 음수가 되므로 순서를 바꾸면 부호가 뒤집힌다. 기준을 기억하는 요령은 기저벡터를 순서대로 곱한 i×j가 양수가 되어야 한다는 점이다.

그렇다면 넓이를 직접 알려주는 사람 없이 어떻게 계산할까. V의 좌표를 첫 열, W의 좌표를 둘째 열로 놓은 행렬의 행렬식이 답이다. 그 행렬은 기저벡터 i와 j를 각각 V와 W로 보내는 선형변환에 대응하고, 행렬식은 변환으로 넓이가 몇 배가 되는지를 재는 값이기 때문이다. 넓이가 1인 단위정사각형이 바로 그 평행사변형으로 바뀌므로 행렬식이 곧 넓이가 된다. V가 (-3, 1), W가 (2, 1)이면 행렬식은 -3×1 - 2×1로 -5이고, 넓이는 5이며 V가 왼쪽에 있으니 부호가 음수인 것이 자연스럽다.

감각을 기르는 데 도움이 되는 성질도 있다. 두 벡터가 수직에 가까울수록 평행사변형이 넓어지므로 외적 값이 커지고, 비슷한 방향을 가리킬수록 작아진다. 한쪽 벡터를 3배로 늘리면 넓이도 3배가 되어 3V와 W의 외적은 V와 W 외적의 정확히 세 배가 된다.

다만 지금까지 설명한 것은 엄밀히 말해 진짜 외적이 아니다. 본래의 외적은 3차원 벡터 두 개를 받아 새로운 3차원 벡터를 내놓는다. 결과 벡터의 길이는 여전히 평행사변형의 넓이이고, 방향은 그 평행사변형에 수직인데 가능한 두 방향 중 하나를 오른손 법칙으로 고른다. 오른손 검지를 V, 중지를 W 방향으로 두었을 때 엄지가 가리키는 쪽이다. 길이 2로 z축을 향한 벡터와 길이 2로 y축을 향한 벡터라면 넓이 4인 정사각형이 만들어지고, 외적은 -x 방향으로 길이 4인 벡터, 즉 -4i가 된다.

주요 인사이트

• 외적을 공식 암기가 아니라 '방향까지 고려한 넓이'로 이해하면, 부호가 왜 순서에 따라 뒤집히는지가 저절로 설명된다.
• 행렬식이 외적 계산에 등장하는 것은 우연이 아니라, 행렬식이 애초에 넓이 배율을 재는 값이라는 정의에서 곧바로 따라나온다.
• 일반적인 3차원 외적은 첫 열에 i, j, k를 써넣은 3×3 행렬식을 전개해 구한다. 벡터를 행렬 성분에 넣는 것이 이상해 보이지만 전개 결과가 곧 원하는 벡터가 된다.
• 영상은 이 표기법이 단순한 편법이 아니라 쌍대성 개념에서 나온다고 밝히면서, 그 설명은 별도 후속 영상으로 미룬다. 기하학적 의미를 아는 것만으로도 실용적으로는 충분하다는 뜻이다.

자주 묻는 질문

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